Что такое Фундаментальная Наука?

Создано 25.10.2010 10:57

Автор: Асеев Иван Иванович

Асеев Иван Иванович Столь броский заголовок статьи выбран автором не потому, что ему просто захотелось «потрындеть» о науке в общем или о фундаментальной науке в частности, а потому что нижеследующие рассуждения являются обобщением результатов полученных в ходе его двадцатилетней работы на стыке ветвей дискретной и континуальной математики.

При этом автор не ставит своей целью представить некую концепцию фундаментальной науки, а приглашает читателя к конструктивному размышлению. Ибо, глядя, на сегодняшнее состояние науки во всем мире, невольно задаешь себе вопрос – Что это? Шоу-бизнес, наступившее «средневековье» или бессилие сообщества людей, относящих себя к академическим кругам?

Начнем с детского вопроса – почему на нуль умножать можно, а делить нельзя?

Рассмотрим следующую цепочку алгебраических преобразований простейшей системы из двух тождественных уравнений:

Парадоксальная математика

Полученный противоречивый результат имеет единственное объяснение – поскольку a - 2 = 0, а на нуль делить нельзя, предпоследний шаг в цепочке преобразований делать нельзя.

Теперь обратим внимание на то, что если бы мы производили над вышеизложенной системой только аддитивные преобразования или только мультипликативные преобразования, то не было бы противоречивых результатов. Другими словами, если на множестве действительных чисел определить только операцию сложения, то мы получим непротиворечивую алгебраическую структуру, которая называется бесконечной абелевой группой, в которой нуль является нейтральным элементом, но самое главное он является числом (таким же, как и все остальные числа группы), правда, наделенным особым свойством – нейтральный элемент. Аналогично, если на множестве действительных чисел (без нуля) определить только операцию умножения, то также получим непротиворечивую бесконечную абелевую группу, в которой положительная единица является нейтральным элементом.

Вернемся к системе с двумя бинарными операциями на множестве действительных чисел, такие системы в абстрактной алгебре называются полями (коммутативно – ассоциативное кольцо). Здесь возникает вопрос. Что такое нуль? При умножении на нуль имеем нуль, при делении «неопределенность» в виде символа бесконечности. Таким образом, нуль при умножении является не числом, а оператором уничтожения числа, а при делении оператором появления неопределенности в виде бесконечности, которую можно трактовать, как все множество действительных чисел. Как бы «ничто» и «все» в одной сущности. Теория, включающая в себя элементы различной природы, связанные какой либо операцией, мягко говоря – противоречива и никак не может быть фундаментальной, в лучшем случае, она может быть прикладной, причем в тех областях, где операции с конечными объектами не дают бесконечных результатов. А все разговоры о том, что нуль и символ бесконечности это какие – то там «особые числа», не более чем разговоры. У любого числа могут быть свои особые свойства, но как элементы одной природы, числа ничем не должны выделяться – они однородны. А что определяет однородность элементов? – бинарная операция, заданная на данном множестве, которая пару однородных элементов переводит в элемент того же рода. Тогда напрашивается следующий вывод – непротиворечивой может быть математическая система с одной операцией, заданной на множестве однородных элементов. Но, дело в том, что числовая система с двумя бинарными операциями намного богаче своей структурой, нежели система с одной бинарной операцией. Теперь зададимся вопросом, что такое выражение – «на нуль делить нельзя»? Это аксиома? Это теорема? – это запрет, запрет на действие. Тогда, что означает выражение – «на нуль умножать можно»? Это разрешение на действие? Если операции умножения и деления являются взаимообратными, то почему умножать можно, а делить нельзя? К примеру, операции дифференцирования и интегрирования являются взаимообратными, так может там тоже поискать функцию, которую дифференцировать можно, а интегрировать нельзя? И действительно, там есть нечто подобное. Степенную функцию f(x)=1/x продифференцировать можно (по правилу дифференцирования степенной функции), а проинтегрировать нельзя (по правилу интегрирования степенной функции). Но там нашли выход, разложили данную функцию в ряд, который почленно проинтегрировали (по правилу интегрирования степенной функции) и получили результат в виде другого ряда, соответствующего функции натурального логарифма.

Можно посмотреть на данную проблему с другой точки зрения. Коль уж невозможно избавиться от противоречий, то хотя бы дать им разумное объяснение, в рамках математики это сделать невозможно. Но то, что для математики является противоречивым (неприемлемым с точки зрения логики), для естествознания, возможно, является закономерным. В природе встречаются запреты, например в размножении различных видов животных, нельзя спарить, скажем, кошку с дельфином, на микроуровне из электрона получить протон и т.п. Окружающая нас реальность жестко структурирована. Поэтому возникает необходимость принять следующую точку зрения – математика, сама по себе, как целое, не является фундаментальной наукой, это формализованный абстрактный язык, посредством которого человек открывает различные математические системы (модели), ценность которых определяется способностью адекватно описывать окружающую реальность. Если грубо сказать, это язык, на котором природа общается с нашим разумом. Что значит – «адекватно» описывать окружающую реальность? Значит, с максимальной степенью приближенности результатов физических наблюдений (опытов) и результатов математического аппарата теории.

Исходя из сказанного, дадим следующее определение фундаментальной науки.

Фундаментальная наука это единая математическая система, адекватно описывающая весь окружающий Мир.

Мир принимается как единое целое – структурированная дискретно-непрерывная бесконечная система.

Данное определение фундаментальной науки, не более чем идеал, посылка к творческому поиску, а последующие рассуждения автора, не претендуют на некую уникальность или единственность подхода к построению фундаментальной науки. Из этого определения следуют жесткие требования к такому математическому аппарату:

1) Универсум математического аппарата необходимо строить из первичных однородных математических элементов (конструктов) с заданной для них операцией взаимодействия. Перемножение конструктов между собой и вновь получаемыми элементами должно в итоге давать бесконечный Универсум математического аппарата. Структура математического аппарата должна содержать градацию математических систем: операторную систему, функциональную систему и числовую систему. Операторная система является первичной, собственно, она и есть Универсум и дает все возможные виды конечных и бесконечных алгебраических структур, то есть качественное описание окружающей реальности. Вторичными являются – функциональная система, которая описывает (количественно) динамику процессов окружающей реальности и числовая система, из которой можно получать числовые (безразмерные) физические константы. Функциональная и числовая системы являются вторичными, поскольку образуются из операторной системы, по определенным правилам, которые в первом случае «превращают» оператор в функцию, во втором, оператор в числовое выражение. Здесь следует отметить, что «математически» все три системы не взаимодействуют между собой, то есть являются закрытыми относительно друг друга по взаимодействию, но, при этом, все три системы являются связными, поскольку вторичные образованы первичной. Другими словами, в операторной системе взаимодействуют только операторы с операторами, в функциональной системе только функции, числовая система представляет собой – модель «физического вакуума», которая является бесконечной абелевой группой на множестве комплексных чисел с заданной операцией сложения. То есть, если просуммировать все бесконечное множество комплексных чисел, то в результате получится нуль, что означает «ненаблюдаемость» в реальности «физического вакуума» и его «нейтральности» по отношению к реальности. Частный пример формирования такой математической системы представлен на странице – http://asivva.narod.ru/part-7.html .

2) Каждая подсистема математического Универсума (операторов), должна адекватно соответствовать (качественно), какой либо подсистеме реальности. Каждая возможная функциональная структура должна адекватно описывать (количественно) какой-либо процесс реальности. Никакой «подгонки» под экспериментальные данные не должно быть.

3) Если при взаимодействии двух элементов Универсума имеет место противоречивый результат, на взаимодействие этих двух конкретных элементов накладывается запрет или частичный запрет. Что значит частичный запрет? К примеру, умножение двух элементов некоммутативное, при умножении справа результат – корректный, а при умножении слева – противоречивый, в этом случае, накладывается запрет на умножение слева. Что значит противоречивый результат? – появление «запретного» элемента. «Запретными» являются элементы, не имеющие обратного элемента или не обратные самим себе относительно заданной операции взаимодействия элементов. Например, нуль на множестве действительных чисел с двумя бинарными операциями сложения и умножения, относительно умножения является «запретным» элементом. Математические запреты на действие должны соответствовать запретам, имеющих место в физических процессах.

4) Проблема дискретности и непрерывности.

С точки зрения кибернетики – «состояние системы определяется через совокупность состояний всех ее подсистем, т. е. в конечном счете, элементарных подсистем. Элементарные подсистемы бывают двух типов: с конечным и бесконечным числом возможных состояний. Подсистемы первого типа называются подсистемами с дискретными состояниями, второго типа с непрерывными состояниями». Отсюда можно вывести концепцию Мира, как глобальной информационной системы, в которой идет обмен потоков информации между её подсистемами. Подсистемы с дискретными состояниями формируют образ цикличности – времени, подсистемы с непрерывными состояниями образ протяженности – пространства. Однако для построения фундаментальной науки двух типов элементарных подсистем недостаточно. Из алгебры, примерами элементарной подсистемы с дискретными состояниями могут служить конечные группы поворотов правильных многоугольников. Примером элементарной подсистемы с непрерывными состояниями может служить – бесконечная абелева группа множества целых чисел с одной операцией сложения. В последнем примере, на понятие непрерывности, можно взглянуть с другой точки зрения, не используя теорию пределов. На множестве целых чисел, нет смысла задавать вопрос, что находится между, скажем, нулем и единицей или между тройкой и четверкой, так как между ними нет целых чисел, поэтому вся система целых чисел с операцией сложения является непрерывной в своей бесконечности.

Если с этой точки зрения посмотреть на физику, то там нет ни одной фундаментальной теории. А почему? А потому, что из физики решили сделать частное приложение к частному разделу математике, возводя идею непрерывного континуума в ранг физической реальности. Идея непрерывного континуума, как фундамент, к окружающей реальности вообще никакого отношения не имеет. Природа в принципе дискретна в своей бесконечности, а бесконечность и формирует в нашем сознании ощущение непрерывности. Кроме того, нет ни одной физической теории, описывающей из единых принципов дискретные и непрерывные системы. А данная проблема имеет чисто математический характер, поэтому её решение лежит исключительно в сфере математики. Для любителей фантазий профессора, в детстве любившего путешествовать на световом луче, приведу его же последнее высказывание из его последней работы по ОТО. «Можно убедительно доказать, что реальность вообще не может быть представлена непрерывным полем. Из квантовых явлений, по-видимому, следует, что конечная система с конечной энергией может полностью описываться конечным набором чисел (квантовых чисел). Это, кажется, нельзя совместить с теорией континуума и требует для описания реальности чисто алгебраической теории. Однако сейчас никто не знает, как найти основу для такой теории». Не знаю, сам он до этого дошел или кто подсказал, но вот такой вот жирный крест на всем своем детище. Подобная ситуация и в квантовой физике, достаточно вспомнить оценку Р. Фейнмана – «заметание мусора под ковер». Но современные фундаменталисты науки, видимо, классиков не читают и идут дальше, пытаясь скрестить две внутренне противоречивые теории, возможно, руководствуясь правилом «минус на минус даст плюс». Автор не утверждает, что почти столетний труд физиков и математиков нужно выбросить на помойку, нет, этот труд нужно осмыслять, а не возводить в ранг фундаментальной науки. Ракеты летают в космос, информационные технологии существуют, не по причине появления ОТО или КМ или вообще так называемой «фундаментальной науки», а благодаря работе инженеров, физиков–экспериментаторов и других «прикладников», которые зачастую в своей работе открывают и разрабатывают нужные им математические модели, способные решить стоящие перед ними проблемами, не ожидая никаких «подарков» от академических кругов.

Теперь собственно о математике. Основной особенностью современной математики считается следующая идея – «природа» математических объектов не имеет особого значения, значимы лишь отношения между объектами.

Особенно ярко это идея была озвучена Н. Бурбаки: «Мы становимся здесь на «наивную» точку зрения и не касаемся щекотливых вопросов, полуфилософских, полуматематических, возникших в связи с проблемой «природы» математических «объектов». Ограничимся замечанием, что первоначальный плюрализм в наших представлениях этих «объектов», мыслимых сначала как идеализированные «абстракции» чувственного опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматических исследований XIX—XX вв. был заменен единой концепцией, посредством последовательного сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором этапе к понятию множества. Последнее, рассматриваемое долгое время как «первоначальное» и «неопределимое», было объектом многочисленных споров, вызванных характером его исключительной общности и весьма туманной природой представлений, которые оно у нас вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все метафизические псевдопроблемы относительно математических «объектов») в результате недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры».

То есть, согласно данной идее, математика в целом, это библиотека на полках которой, разложены известные типы абстрактных структур (группоиды, кольца, поля, тела…), подчиняющиеся своему набору аксиом. Поэтому вся работа математика сводится к аксиоматической разработке известных типов абстрактных структур, а при работе со структурой, состоящей из конкретных математических объектов, необходимо определить к какому типу абстрактных структур она относится и положить её на ту полочку. При этом абсолютно безразлична «природа» этих самых конкретных математических объектов, числа ли это, матрицы, топологические шнурки – безразлично. Результатом такого подхода к математике, на сегодняшний день, мы имеем абстрактное частично упорядоченное «месиво», которое, уже, по сути, абстрагировалось от человеческого разума. Н. Бурбаки (по крайней мере, их первый состав) хотели как лучше, а получилось, как получилось. Автор данной статьи, буквально, ещё год назад очень уютно себя чувствовал в рамках парадигмы Н. Бурбаки, поскольку никакой альтернативы не видел. Парадигма Н. Бурбаки была возведена на незыблемости аксиоматического подхода к, казалось бы, безупречной в этом плане – теории групп. Но автором были найдены конечные алгебраические структуры, которые, по сути, являются конечными группами – одна бинарная операция и конечное число элементов, составляющих таблицу умножения Кэли. В этих структурах нарушается аксиома ассоциативности, а в некоторых и аксиома единственности нейтрального элемента. Объектами алгебры, в которой найдены эти структуры, являются комплексные подстановки ( http://asivva.narod.ru/part-70.html ). Казалось бы, ну и что? Есть ассоциативные группы, появились неассоциативные. Можно сделать еще одну полочку в библиотеке математики и положить туда новые алгебраические структуры. Автором найдены структуры, которые включают в себя и ассоциативные (классические) группы и неассоциативные, а также другие новые виды алгебраических структур, найденные на множестве комплексных подстановок. Существенным здесь является то, что новые виды алгебраических структур получены при работе с конкретными математическими объектами – комплексными подстановками, а не из аксиоматики теории абстрактных алгебраических структур. Поэтому все попытки аксиоматического построения математики как единого целого, теряют смысл и как вывод – никаких основ аксиоматического построения математики просто не существует.

Так называемая "официальная фундаментальная наука" во всем мире, это даже не миф, это обыкновенный обман. Поэтому сейчас любой человек, освоивший таблицу умножения чисел, может рассуждать о фундаментальной науке или сотворении мира на академическом уровне. Главное произвести эффект, а эффективность самой науки мало кого интересует. Э. Галуа не был «академиком», как раз академики, его современники, не поняли, что сделал двадцатилетний парень. Цитата из статьи А. Дальма: «Понятие группы возникло незадолго до работ Галуа. Но в его время оно существовало как тело, лишенное души, как одно из множества искусственно выдуманных понятий, время от времени возникающих в математике. Революционность того, что сделал Галуа, заключалась не только в том, что он вдохнул в эту теорию жизнь, что его гений придал ей необходимую законченность; Галуа показал плодотворность этой теории, применив её к конкретной задаче о решении алгебраических уравнений. Именно поэтому Эварист Галуа является истинным создателем теории групп». Заметьте, что плодотворность науки появляется тогда, когда автор работает с конкретными объектами, а не над аксиоматикой абстракции. Сейчас же, очень модно прикрываться «академичностью», а еще лучше у таких получается, когда они сбиваются в стаи и кричат - "мир так сложен, что для его описания необходимо найти очень «сложный» математический аппарат и создать очень мощные компьютеры для проверки фундаментальности решений, что по силам только огромному коллективу ученных, поэтому правительства должны заботится о таких коллективах, а время ученных-одиночек ушло". Да не ушло оно, науку развивали и развивают «одиночки», первопроходцы, из работы которых в будущем зарождаются научные школы, в которые приходят люди способные самостоятельно продвигать открытое направление, об этом свидетельствует вся история развития науки. И подтверждением тому является история с Бурбаки – коллектива сильнейших математиков своего времени. Почему распался этот коллектив. Потому что коллективно можно сделать ракету, построить мост, но не фундаментальную науку. Математика (как и естествознание в целом) не является чем то эволюционно (исторически) развивающимся, это некое зерно, из которого произрастают различные математические школы (Пифагора, Галуа, Пуанкаре...), которые могут пересекаться, дополняться, заблуждаться... и выдыхаться, в последнем случае, научную школу надо положить на полку истории, а не стараться реанимировать выдохшееся, используя современные технические средства, в частности – компьютеры. Поэтому есть смысл говорить об эволюции школ, но не математики как целого, она объективна и существует независимо от того, есть мы или нет, другими словами это свойство природы реализовываться "математически". Значит, математику надо учиться открывать, глядя на окружающую реальность, а не изобретать как компьютерную игру.

Асеев Иван Иванович